W przypadku problemów niestacjonarnych poszukiwane rozwiązanie zależy zarówno od czasu jak i przestrzeni.
W ogólnej postaci silnej, w której problem obliczeniowy opisany jest równaniem różniczkowym cząstkowym
\( \frac{\partial u\left(x,y;t\right)}{\partial t}-{\cal L }\left(u\left(x,y;t\right)\right)=f(x,y;t) \)
pojawia się teraz pochodna względem czasu
\( \frac{\partial u\left(x,y;t\right)}{\partial t } \)
reprezentująca zmiany w czasie poszukiwanego pola skalarnego
\( \Omega\times [0,t] \ni \left(x,t\right)\rightarrow u\left(x,y;t\right)\in R \)
Znaczenie poszukiwanego pola zależy od rodzaju rozwiązywanego problemu.
Rodzaj rozwiązywanego problemu "zakodowany" jest w operatorze \( {\cal L }\left(u\left(x,y;t\right)\right) \), opisującym modelowane zjawisko fizyczne za pomocą operatorów różniczkowych.
Podobnie jak podczas rozwiązywania problemów stacjonarnych (nie zmieniających się czasie) konieczne jest podanie warunków brzegowych (czyli podanie informacji o tym co dzieje się na brzegu symulowanego obszaru). Dodatkowo, w przypadku symulacji problemów niestacjonarnych, konieczne jest podanie warunku początkowego (czyli podanie informacji o tym jaki stan miało modelowane zjawisko na początku symulacji)
\( u(x,y;0)=u_0(x,y) \)
W równaniu występuje również prawa strona \( f(x,y;t) \) opisująca "siłę" dostarczającą energii (pędu, masy, etc. w zależności od modelowanego zjawiska) do układu.
Istnieją dwie metodologie rozwiązywania zadań niestacjonarnych. W pierwszej najpierw dokonuje się dyskretyzacji względem czasu, a potem względem przestrzeni. W drugiej, najpierw dokonuje się dyskretyzacji w przestrzeni, a potem po czasie (metoda ta nazywa się metodą linii - method of lines). W naszych rozważaniach użyjemy pierwszej metody.
W celu rozwiązania problemu niestacjonarnego, wprowadzamy kroki czasowe
\( t_0=0 < t_1 < t_2 < \cdots t_{k-1} < t < t_{k+1}< \cdots < t_N \)
oraz stany modelowanego zjawiska w poszczególnych krokach czasowych, reprezentowane przez pole skalarne \( u(t) \)
\( u_0=u(t_0), u_1=u(t_1), u_2=u(t_2), \cdots, u_{k-1}=u(t_{k-1}), u_k=u(t_k), u_{k+1}=u(t_{k+1}), \cdots, u_N=u(t_N) \)
Pochodną po czasie przybliżamy za pomocą metody różnic skończonych
\( \frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_{t+1}-u_t}{dt } \)
Dostajemy więc równanie
\( \frac{u_{t+1}-u_t}{dt} - \mathcal{L}(u) = f \)
Powstaje teraz pytanie, w jakiej chwili czasowej wziąć stan modelowanego zjawiska, reprezentowany przez pole skalarne
\( u(t) \). Mamy kilka możliwości:

1. wziąć stan w chwili poprzedniej \( u_t \),
2. wziąć stan w chiwli aktualnej \( u_{t+1} \),
3. wziąć kombinacje liniową stanu poprzedniego i następnego \( \alpha u_{t} + (1-\alpha) u_{t+1} \)

Pierwszy sposób daje nam metodę explicite, zwaną również metodą Eulera (forward Euler).
\( \frac{u_{t+1}-u_t}{dt} - \mathcal{L}(u_t) = f \)
Drugi sposób daje nam metodę implicite, zwaną również wstecznym Eulerem (backward Euler).
\( \frac{u_{t+1}-u_t}{dt} - \mathcal{L}(u_{t+1 }) = f \)
Trzeci sposób daje nam metodę implicite, w zależności od sposobu zdefiniowania kombinacji liniowej, będzie to metoda Cranka-Nicolson, lub metoda alpha.
\( \frac{u_{t+1}-u_t}{dt} - \mathcal{L}(\alpha u_{t} + (1-\alpha) u_{t+1}) = f \)

Metody explicite pozwalają zawsze na szybkie rozwiązanie w czasie liniowym, jednak można w nich stosować jedynie małe kroki czasowe (w przeciwnym wypadku symulacja zacznie zachowywać się niestabilnie). Metody implicite pozwalają na stosowanie większych kroków czasowych (jeśli są bezwzględnie stabilne, sprawdzenie czego wymaga zaawansowanej wiedzy matematycznej). Metody implicite zazwyczaj wymagają drogich solwerów. W podręczniku tym pokazuje jak uzyskać solwery o czasie liniowym do metod implicite.
Metody te wywodzą się od całej rodziny metod zwanych metodami Rungego-Kutty [1]